成电讲堂

　　4月25日，湖南大学黄勇教授做客学者论坛，为广大师生们带来题为“Geometric flows to Minkowski problems”的报告。本次学者论坛由数学科学学院向昭银教授主持，相关方向老师和学生们参加了讲座。

　　黄勇首先给出了研究对象——欧式空间的凸体。他指出，这些凸体由描述凸体的支撑平面到原点的距离函数支撑函数来表示，并且支撑函数与凸体是一一对应的。接着，他指出给凸体定义加法数乘之后，就可以通过找反应凸体最基本的量对凸体进行研究；比如，黄勇教授和他的合作者对反应凸体体积的一个径向函数q次方积分（对偶均值积分）定义线性结构后，对凸体进行扰动，扰动之后得到与p.q有关的泛函；他们推导出对任意的p,q这个泛函都是可微的。

　　紧接着，他介绍了几何分析里面标志性问题Minkowski问题。回到偏微分方程问题，他提出关于用上述提到的支撑函数得到的Monge-Ampere方程的三大问题---弱解存在性、正则性和唯一性。他指出，关于存在性问题，主要是通过变分，也就是找极值问题的极小元；而在连续函数空间由于没有等度连续，不能应用Arzela-Ascoli定理，从而转到凸体中找；由于凸函数有Lipschitz连续，结合凸几何中Blaschke selection 定理，就能得到极小化元。

　　对于Monge-Ampere方程的正则性问题，他详细地介绍了三种方法，最基本的方法是连续性方法；而连续性方法中需要找到定义的线性算子的Kernal；当我们不能找到kernal时，利用度理论方法。当上述两种方法失效时，我们可以使用和变分类似的流方法；通过这三种方法的介绍，他引出了他和合作者通过找一个沿着流快速下降的泛函得到Monge-Ampere方程解的一些正则性结果。

　　参与报告的师生纷纷表示，整场学术报告让大家受益匪浅，很好地开拓了学术视野，特别是利用偏微分方程解决凸几何公开问题的方法，拓展了大家的学术思维，有助于我校数学科学学院师生更好地在相关领域开展研究。

　　本次学者论坛由学校人力资源部教师发展中心主办，数学科学学院承办。

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　　黄勇，湖南大学数学与计量经济学院教授、博导、副院长，主要从事非线性偏微分方程和几何分析的研究；2007年在清华大学获理学博士学位，先后访问加拿大McGill大学管鹏飞教授，西班牙马德里自治大学Juan Luis Vazquez教授, 以及美国纽约大学多工学院Lutwak-Yang-Zhang凸几何分析小组；在ActaMathematica、Advances in Mathematics、Journal of Differential Equation 等国际顶尖数学期刊上发表学术论文20余篇；2016年获国家自然科学基金杰出青年基金资助，2018年入选中组部第四批“万人计划”科技创新领军人才。