成电讲堂

　　6月15日、16日，北京大学国际数学中心葛剑研究员、东南大学李逸教授、中国科技大学王作勤教授应邀做客人力资源部教师发展中心“学术沙龙”活动，分别作了题为“Geometric Properties of Fillings of Positively Curved Alexandrov Spaces”“Scalar curvature along the Ricci flow and Laplacian G2 flow”“Spectral geometry of toric manifolds (via polytopes)”的报告分享。

　　15日，葛剑在报告中通过对一个纸杯的“杯口是缘，杯子是杯口的填充”引出“填充”的定义，即对于一个不带边的闭流形找一个紧致流形使得它的边等于闭流形的边这个过程叫做填充。他指出，不是所有的流形都可以给配边。然后，他介绍了Gromov为了证明等周不等式而定义的黎曼流形和填充体积；在实际应用中，为了探测地下矿的分布，通过制造地震波，在另外一点探测地震波传播到此的时间，从而如果知道Riemannian距离，就可以探测到矿的分布；但这需要这个填充是唯一的。

　　葛剑指出，事实上，流形不一定是紧致的，因此要考虑更一般的完备流形；从而在无穷远处给定一个完备流形，是否能找到一个填充是我们关心的问题；他指出，他关注的空间是Alexandrov space，其截面曲率是有下界的；非负弯曲Alexandrov 空间，是一个度量空间，只不过它的三角形比通常欧式空间中三角形更“fatter”。

　　随后，葛剑谈到了Alexandrov 空间的意义，即在拓扑上更稳定并且黎曼流形上有的性质在此空间均有。他还介绍了Alexander-Bishop为了把光滑的东西推广到非光滑的情形定义的the base-angle。

　　通过上诉背景的介绍，葛剑分享了他在这个方向关注的问题，给出他自己定义的一个(κ，A)-Fillings，即一个Alexandrov 空间是另一个Alexandrov 空间的填充且induced metricx相等；他指出，这个空间是非空且有意义的并且对于这个空间中的元研究它的几何性质是值得研究的问题；然后，他分享了对于κ=0，1和A≥0情形的一些研究成果。当κ=1，如果边界是光滑和有正的截面曲率时，这个填充是锥。当κ=0, 如果边界是等距的，则填充是唯一的。最后，葛剑分享了他最近的一个成果——填充体积可以有下界。

　　李逸教授给出了他关注的两类流，即Ricci流和拉普拉斯G2流。接下来，他介绍了关于Ricci流已有的存在和唯一性结果，并讨论了长时间行为的存在性以及各种维数情形下局部曲率估计的不等式。通过对Simon/Bamler-Zhang在2015年关于4维闭的黎曼流形结果的介绍，他给出了Hamilton猜想，进一步介绍了关于这个猜想目前的一些成果；同时分享了当G2时把局部曲率放大到Ricci曲率下的一个刻画结果。

　　李逸教授基于Ricci调和流引入洛伦兹4维流形及其度量, 从而给出爱因斯坦真空方程(EVE)，并给出了几个等价形式；他还基于Yau的第20问题，找到一个关于对称张量使得爱因斯坦场方程有 (黎曼或洛伦兹)度量解的充分必要条件；通过对比两种黎曼曲率，他给出了更一般的度量；为了更一步了解这种度量之间的关系，他介绍了G2结构和拉普拉斯G2流，并给出了近年来他和其他学者一些研究成果。最后，他介绍了关于凯莱-里奇流和抛物的复蒙日-安培方程的两个有趣问题，并分享了他在抛物的复蒙日-安培方程中的一些研究成果。

　　6月16日，王作勤教授介绍了线性代数中的Schur-Horn定理。该定理描述了任意n阶Hermitian矩阵主对角元素与其特征值的关系。利用这个定理，他提出任意n阶Hermitian矩阵其主对角元素与其特征值满足了怎样的关系，引出了凸多面体的概念，并分别举出了三维空间和二维平面中凸多面体的例子。

　　随后，他对辛几何中的凸多面体和Delzant多面体做了简要介绍，其中辛流形是非退化2-形式ω的光滑流形，例如：二维球面，n 维复空间等。Delzant多面体是一类非常特殊的凸多面体，它们与环流形一一对应，他指出我们可以从多面体的数据中得到许多环流形的信息。他还介绍了辛复曲面流形，指出辛流形有体积，有辛结构，但是不能定义距离且辛流形一定是偶数维的。

　　最后，他重点介绍了环流形的谱几何，他依次对等变谱，Kähler流形的等变第一特征值以及Schrödinger算子逆问题做了相应的讲解，并以一个非阿贝尔群的例子结束了本次学术报告。

　　该系列学术沙龙由学校人力资源部教师发展中心主办，数学科学学院承办。 

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　　葛剑，2000年在苏州大学获得学士学位，2003年在南开大学获硕士学位，2011年在 University of Notre Dame 获得博士学位，其后在 Johns Hopkins University、Institute Fourier 做博士后研究。2014年回国任北京大学国际数学研究中心研究员。主要研究方向为黎曼几何、Alexandrov几何。

　　李逸，2012年获 Harvard University 博士学位，之后分别在 Johns Hopkins University、上海交通大学及 University of Luxembourg 从事教学科研活动。目前为东南大学数学学院和东南大学丘成桐中心教授，主要研究方向是几何分析。

　　王作勤，2008年博士毕业于 MIT，后分别在 Johns Hopkins University 和University of Michigan 工作。2013年回到中国科学技术大学数学科学学院工作，担任教授、博导，主要从事微分几何（谱几何，辛几何）以及微局部分析（半经典分析）方面的理论研究。