成电讲堂

　　近日，北京应用物理与计算数学研究所苗长兴教授、郑继强研究员应邀做客“学者论坛”，围绕分析与偏微分方程的主题，分别作了题为“偏微分方程的公开问题与研究对策”和“Growth of Sobolev norms for 2D cubic NLS with partial harmonic potential”的讲座。本次学者论坛由教师发展中心主办，数学科学学院承办，数学科学学院向昭银教授主持。

　　苗长兴教授首先形象地介绍了函数谱几何，包括Fourier谱几何，自伴算子的谱几何，自由色散方程解的谱几何等。他解释了如何从函数论观点看待偏微分方程的解，特别介绍了Stein-Tomes限制定理及其对偶版本-Strichartz估计。他指出Bourgain开创了流形上色散偏微分方程的数论方法，这是decoupling理论产生的动因之一，并介绍了相应结果。随后，苗长兴教授介绍了Hilbert第19问题与千禧年问题，特别讲解了De Giorgi-Nash迭代方法的重要性和适用性，并举例进行了分析。最后，苗长兴教授介绍了临界色散（波）方程的散射理论与Soliton分解猜想，并以非线性Schrödinger方程与波动方程为例进行了说明。此外，苗长兴教授还介绍了偏微分方程与调和分析中的公开问题与猜想。

　　郑继强研究员首先以不带位势的经典Schrödinger方程为研究背景，列举了问题模型的物理含义并介绍了关于问题模型及其变体分别在周期区域、全空间以及其他流形区域解的Sobolev范数的增长指标已有的工作结果。他谈到，受到具有完全调和位势的Schrödinger方程在二维全空间工作的启发，主要研究了具有部分调和位势的方程解的Sobolev范数的增长指标。郑继强研究员还分析证明主要分为两步，首先利用双线性估计结合其他正交理论推导出三线性估计，并以此为主要分析工具给出了问题模型在Bourgain空间解的局部适定性，再通过引入二、三维流形上的修正能量，即可证得问题模型解的Sobolev范数的多项式增长的指标。最后，郑研究员分享了下一步的研究计划和研究目标。

　　讲座吸引了许多感兴趣的师生前来聆听，讲座结束后，苗长兴教授和郑继强研究员热情耐心地解答了各位老师和同学提出的各种问题。参与报告的师生纷纷表示，整场学术报告让大家受益匪浅，不仅让学生对专业相关领域有更深入的了解，而且也促进了师生之间沟通与交流，很好地拓展了我校师生的科研视野与思路。