成电讲堂

　　6月27日，香港科技大学项阳教授、美国普渡大学沈捷教授应邀做客“学者论坛”，举办微分方程数值解先进方法研讨会主题讲座，分别作了题为“Deep Operator-Splitting Network for Solving PDEs”和“Efficient positivity/bound/length preserving schemes for complex nonlinear systems”的讲座。本次学者论坛由教师发展中心主办，数学科学学院承办，数学科学学院魏朝祯研究员、顾亦奇研究员主持。

　　项阳教授首先以一类广泛的具有可算子分裂性质的复杂偏微分方程的数值求解为背景，回顾了针对其提出的一系列传统数值方法并分析了传统算法的困难和缺陷，引出以深度神经网络（DNN）为基础和工具来分析和求解复杂偏微分方程的最新思想。项阳教授谈到，单纯的“黑箱子”神经网络由于缺乏物理信息和规则的指导通常难以构建同时实现高精度、低计算负担和可解释性的神经网络求解器。接着，项阳教授提出了利用传统数值方法中经典的“算子分裂”技术设计基于机器学习神经网络架构的偏微分方程求解器，即深度算子分离网络（DOSnet）。项阳教授展示了利用DOSnet求解一系列偏微分方程的数值结果，结果显示这种由控制底层动态的物理规则和算子构建的非黑箱网络设计，比经典数值方案和标准深度神经网络更高效、更灵活。项阳教授展示了DOSnet应用于非线性薛定谔方程的优秀结果，该方程在现代光纤传输系统的信号处理中有着重要的应用。最后，项阳教授分享其团队近年来在基于神经网络的高性能计算上的其他研究工作和成果。

　　沈捷教授以一大类具有能量耗散结构的偏微分方程的数值方法为背景，介绍了一系列在自然科学和工程中具有重要应用的偏微分方程，包括热方程、Fokker-Planck方程、Keller-Segal方程、Cahn-Hilliard方程等。沈捷教授指出，这一大类偏微分方程的解具有保正的或保有界或保持长度的性质，并且具有能量耗散的梯度流结构，如何设计数值算法使得数值解在离散水平上保持这些结构是至关重要的，因为违反这些结构可能会使离散问题不适定或不准确。随后，他回顾并分析了现有的保正、保有界的数值方法，提出了三类有效简洁的保正/有界的数值方法，包括：1）将偏微分方程重新表述为具有对数能量泛函的Wasserstein梯度流，利用对数函数的定义域来保证数值解的正性；2）利用指数函数等函数变换方法，求解与原偏微分方程等价的新的未知量的方程，利用指数函数的值域自动地保证数值解的有界性；3）利用拉格朗日乘子方法，在方程中引入适当的惩罚项，保证数值解的保有界、保长度等性质。随后，沈捷教授对这些方法的优点和局限性进行了分析和解释，并对这一研究方向未来的发展进行了展望。

　　这次学术讲座吸引了众多感兴趣的师生前来聆听，讲座结束后，项阳教授和沈捷教授热情耐心地解答了同学们提出的各种问题，并与各位老师进行了热烈的学术交流和讨论。参与讲座的师生纷纷表示，整场学术报告让大家受益匪浅，不仅让学生对专业相关领域有更深入的了解，也促进了师生之间沟通与交流，很好地拓展了我校师生的科研视野与思路。